电化学阻抗谱基础(2)
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【摘要】图3 (a)一阶RC电路;(b)暂态响应uc(t)。其中,R=1.0 Ω,C=1.0 F,E=US或 0 V,uC(0-)=U0或 0 V,U0= 0 V,US= 3.0 V,t=RC是特征时间常数 图3以RC电路为例,说明暂态过程中
图3 (a)一阶RC电路;(b)暂态响应uc(t)。其中,R=1.0 Ω,C=1.0 F,E=US或 0 V,uC(0-)=U0或 0 V,U0= 0 V,US= 3.0 V,t=RC是特征时间常数
图3以RC电路为例,说明暂态过程中零输入响应(RC放电过程)、零状态响应(RC充电过程)和全响应(RC放电充电叠加过程)。根据欧姆定律和克希荷夫电压定律(Kirchoff ’s voltage law, KVL),可以列出暂态响应所对应的微分方程:
方程(9)中,E是电源电动势;方程(10)中,t是特征时间常数。运用特征根方法,我们可以得到一阶常系数非齐次微分方程(9)通解uC(t)。依据电容C初始储能WC和激励信号E,我们可将暂态响应分为三种不同类型:零输入响应(zero input response,即RC放电过程)、零状态响应(zero state response,即RC充电过程)和全响应(complete response,即RC充放电叠加过程)。
表1为一阶RC电路三种不同暂态响应类型汇总表。根据表1所列激励信号、初始条件以及电路参数,绘制三种响应曲线,如图3(b)所示。三种响应的电路结构相同,特征时间常数自然亦相同。当经历时间t=t时,三暂态过程均完成63.2%;当经历时间t=3t时,三暂态过程均完成95.0%,此时,工程上认为暂态过程已结束,电路系统进入新的稳态。
表1 RC一阶暂态电路响应汇总表激励信号 初始条件 暂态类型 响应uc(t)(t≥0)E=0 uC(0_)=U0 零输入响应(RC放电过程)u t U τ c () =e -t 0 E=US uC(0_)=0 零状态响应(RC充电过程)u t U τ() (1 e )c = --t S E=US uC(0_)=U0 全响应(RC充放电叠加过程)u tU τU τ() e (1 e )-t -t c = + -0 S
在超级电容器、锂离子电池、燃料电池等电化学储能与转换器件中,电极/电解质界面电荷累积效应往往可导致界面电容。此界面电容与界面电荷传导电阻一起构成所谓RC充放电回路。在脉冲运行工况时,界面RC电路暂态行为对电池瞬态行为的影响不可忽略,这增加了定量分析电化学储能器件的难度[2]。
1.1.3 交流稳态下电阻R、电感L和电容C
正弦交流电压信号u(t)可定义为:
Umω和φu分别为正弦交流电压信号u(t)的三要素:幅值、角频率和初始相位,u、Um和U则称为正弦交流电压信号的瞬时值、幅值和有效值。当u(t)施加于电阻R、电感L和电容C上时,VCR方程(4)~(6)依然适用,于是可得流过电阻R、电感L和电容C的电流分别为:
可见,制约器件本身VCR不会改变激励信号与响应信号的频率,即线性器件上交流激励信号与交流响应信号拥有相同的频率。因此,正弦交流电压作用电阻R、电感L和电容C时,尽管其响应量有幅度、频率和初始相位三要素,但是只需关注激励信号与响应信号的幅度之比和相位之差。
电路系统中,元器件自身的电压和电流关系受VCR制约,即方程(4)~(6)和(12)~(17)。进一步,电路拓扑结构中电压及电流关系分别受克希荷夫电压定律(KVL)和克希荷夫电流定律(Kirchoff ’s current law, KCL)制约:
(1)KVL:沿电路系统中任一回路绕行一圈时,各器件上电压降的代数和为零,即
(2)KCL:电路系统中任一节点,流入该节点的所有支路电流的代数和为零,即
总之,在电路系统中,器件自身电压电流关系受总的电压电流关系(VCR)制约,与电路拓扑结构相关的电压电流关系受KVL和KCL制约:
(1)电阻、电感和电容器件上电压电流关系受方程(4)~(6)制约,而VCR方程中微积分运算和倍乘运算均不会改变正弦交流信号的频率;
(2)回路中电压关系受KVL制约,节点处电流关系受KCL制约,而KCL和KVL中加减运算也不会改变正弦交流信号的频率。
可见,在线性电路中,电路各处激励信号与响应信号拥有相同的频率。相量概念正是基于该特征而引入线性交流电路系统,用来简化分析和计算。
可以为方程(11)所定义的正弦交流电压信号u(t)构造一个相应的复数Fu(t):
考察方程(11)和方程(20),发现复数Fu(t)与u(t)拥有完全相同的三要素:幅值、频率和初始相位,而且因此,从数学上讲,复数Fu(t)与正弦电压u(t)一一对应,即:Ucos(ωt+φu)。复数Fu(t)可进一步分解为:
其中,ejωt表示角速度为ω的旋转因子,U为常复数的模或常相量的长度,φu表示常复数的辐角或常相量的初始相位,Uejφu为常复数,为常相量,˙为旋转相量。正弦量u(t)、复数量Fu(t)、旋转相量u˙以及常相量˙彼此的等价转换关系如图4所示:
图4 正弦量在时域、复数域和相量域的等价表述关系[1]
(1)因为复数量Fu(t)和正弦量u(t)拥有完全相同的三要素,所以红色箭头A是双向可逆的;
(2)因为旋转相量˙和正弦量u(t)拥有完全相同的三要素,所以红色箭头B也是双向可逆的;
文章来源:《能源技术与管理》 网址: http://www.nyjsygl.cn/qikandaodu/2020/0921/544.html